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圆锥曲线之一)

归档日期:06-14       文本归类:弹道切线      文章编辑:爱尚语录

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  平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。

  抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。

  在数学中,抛物线是一个平面曲线,它是镜像对称的,并且当定向大致为U形(如果不同的方向,它仍然是抛物线)。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个,这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

  抛物线的一个描述涉及一个点(焦点)和一条线(该线)。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面,由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。

  垂直于准线并通过焦点的线(即通过中间分解抛物线的线)被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”,并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直肠直肠”是抛物线的平行线,并通过焦点。抛物线可以向上,向下,向左,向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位,以适应任何其他抛物线 - 也就是说,所有抛物线都是几何相似的。

  抛物线具有许多重要的应用,从抛物面天线或抛物线麦克风到汽车前照灯反射器到设计弹道导弹。它们经常用于物理,工程和许多其他领域。

  Apollonius所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成,可以说是一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的 ellipse(椭圆)、parabola(抛物线)、hyperbola(双曲线)这些名词,都是 Apollonius 所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究,乃是纯粹从几何学的观点,研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广,在当年这是一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。

  ①对称轴为x轴时,方程右端为±2px,方程的左端为y^2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,方程的左端为x^2;

  ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号。

  准线、焦点:抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。

  直径:抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。

  将各个点的坐标代进去得到一个三元一次方程组,解得a,b,c的值即得解析式。

  (2)知道抛物线的与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),并知道抛物线过某一个点(m,n),

  设抛物线的方程为y=a(x-x1)(x-x2),然后将点(m,n)代入去求得二次项系数a。

  经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线(面)的这个性质,让光源处在焦点处以发射出(准)平行光。

  证明:设P(x0,y0),PT是抛物线在P处的切线,PH⊥PT,抛物线的方程为

  +bx+c的图像,可以看出,在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由

  0,也就是- b/2a0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号。

  0,也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号。

  ,即当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0 ),对称轴在y轴右。

  事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  ③ (1/FA)+(1/FB)= 2/P;(其中长的一条长度为P/(1-cosθ),短的一条长度为P/(1+cosθ))

  ⑤焦半径:FP=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离);

  ⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项;

  Drewry, Charles Stewart (1832). A memoir of suspension bridges. Oxford University. p. 159.

  W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)

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