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导数切线问题

归档日期:06-28       文本归类:弹道切线      文章编辑:爱尚语录

  导数切线问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。已知函数 f(x)=x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点 x=2 处的切线)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围、 考点:利用

  已知函数 f(x)=x ﹣3x. (1)求曲线 y=f(x)在点 x=2 处的切线)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围、 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题:计算题。 2 分析: (1)先求导数 f(x)=3x ﹣3,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=2 处的导函 数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. (2)先将过点 A(1,m) (m≠﹣2)可作曲线 y=f(x)的三条切线 2 2 实数根,记 g(x)=2x ﹣3x +m+3,g(x)=6x ﹣6x=6x(x﹣1) ,下面利用导数研究函数 g(x)的零点,从而求 得 m 的范围. 2 3 解答:解: (1)f(x)=3x ﹣3,f(2)=9,f(2)=2 ﹣3×2=2(2 分) ∴曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线)过点 A(1,m)向曲线 y=f(x)作切线;(x0)=3x0 ﹣3. 3 2 (x﹣x0) 分) (6 则切线,m)代入上式,整理得 2x0 ﹣3x0 +m+3=0. ∵过点 A(1,m) (m≠﹣2)可作曲线 y=f(x)的三条切线(*)有三个不同实数根、 分) (8 3 2 2 记 g(x)=2x ﹣3x +m+3,g(x)=6x ﹣6x=6x(x﹣1) 、 令 g(x)=0,x=0 或 1、 (10 分) 则 x,g(x) ,g(x)的变化情况如下表 x g(x) g(x) (﹣∞, 0) + 递增 0 0 极大 (0,1) 1 ﹣ 递减 0 极小 (1, +∞) + 递增 3 2 3 2 3 当 x=0,g(x)有极大值 m+3;x=1,g(x)有极小值 m+2、 (12 分) 由题意有,当且仅当 即 时, 函数 g(x)有三个不同零点、 此时过点 A 可作曲线 y=f(x)的三条不同切线.故 m 的范围是(﹣3,﹣2) (14 分) 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

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